随机梯度上升和随机梯度下降（随机梯度下降和梯度下降）



大多数机器学习或者深度学习算法都涉及某种形式的优化。 优化指的是改变 以最小化或最大化某个函数 f(x) 的任务。 我们通常以最小化 f(x) 指代大多数最优化问题。 最大化可经由最小化算法最小化 -f(x) 来实现。我们把要最小化或最大化的函数称为目标函数或准则。 当我们对其进行最小化时，我们也把它称为代价函数、损失函数或误差函数。 下面，我们假设一个损失函数为

其中
然后要使得最小化它。

注意：这里只是假设，不用知道这个目标函数就是平方损失函数等等，然后肯定有人问既然要最小化它，那求个导数，然后使得导数等于0求出不就好了吗？Emmmm…是的，有这样的解法，可以去了解正规方程组求解。说下这里不讲的原因，主要是那样的方式太难求解，然后在高维的时候，可能不可解，但机器学习或深度学习中，很多都是超高维的，所以也一般不用那种方法。总之，梯度下降是另一种优化的不错方式，比直接求导好很多。

我们知道曲面上方向导数的最大值的方向就代表了梯度的方向，因此我们在做梯度下降的时候，应该是沿着梯度的反方向进行权重的更新，可以有效的找到全局的最优解。这个θi的更新过程可以描述为：

[a表示的是步长或者说是学习率（learning rate）]

在直观上，我们可以这样理解，看下图，一开始的时候我们随机站在一个点，把他看成一座山，每一步，我们都以下降最多的路线来下山，那么，在这个过程中我们到达山底（最优点）是最快的，而上面的a，它决定了我们“向下山走”时每一步的大小，过小的话收敛太慢，过大的话可能错过最小值）。这是一种很自然的算法，每一步总是寻找使J下降最“陡”的方向（就像找最快下山的路一样）。

当然了，我们直观上理解了之后，接下来肯定是从数学的角度，我们可以这样想，先想在低维的时候，比如二维，我们要找到最小值，其实可以是这样的方法，具体化到1元函数中时，梯度方向首先是沿着曲线的切线的，然后取切线向上增长的方向为梯度方向，2元或者多元函数中，梯度向量为函数值f对每个变量的导数，该向量的方向就是梯度的方向，当然向量的大小也就是梯度的大小。现在假设我们要求函数的最值，采用梯度下降法，结合如图所示：

注：y’=2x

在每次更新时用所有样本，要留意，在梯度下降中，对于θi的更新，所有的样本都有贡献，也就是参与调整θ.其计算得到的是一个标准梯度，对于最优化问题，凸问题，也肯定可以达到一个全局最优。因而理论上来说一次更新的幅度是比较大的。如果样本不多的情况下，当然是这样收敛的速度会更快。但是很多时候，样本很多，更新一次要很久，这样的方法就不合适。下图是其更新公式

或使用：

在每次更新时用1个样本，可以看到多了随机两个字，随机也就是说我们用样本中的一个例子来近似我所有的样本，来调整θ，因而随机梯度下降是会带来一定的问题，因为计算得到的并不是准确的一个梯度，对于最优化问题，凸问题，虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向， 但是大的整体的方向是向全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。但是相比于批量梯度，这样的方法更快，更快收敛，虽然不是全局最优，但很多时候是我们可以接受的，所以这个方法用的也比上面的多。下图是其更新公式：，其中m为迭代次数

或使用：

在每次更新时用b个样本,其实批量的梯度下降就是一种折中的方法，他用了一些小样本来近似全部的，其本质就是只取一个样本可能不够准，用个30个50个样本比随机的要准一些，而且批量还非常可以反映样本的一个分布情况的。在深度学习中，这种方法用的是最多的，因为这个方法收敛也不会很慢，收敛的局部最优也是更多的可以接受

具体举例：

能收敛到的地方：最小值，极小值，鞍点。这些都是能收敛到的地方，也就是梯度为0的点。

随机梯度下降一般来说效率高，收敛到的路线曲折，但一般得到的解是我们能够接受的，在深度学习中，用的比较多的是mini-batch梯度下降。

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