广度优先搜索和深度优先搜索时间复杂度（广度优先搜索和深度优先搜索的时间复杂度）

1.1 数据结构

数据结构（）是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有一种单一的数据结构对所有用途都有用，所以我们要学各式各样的数据结构。

如：线性表、树、图、哈希等

1.2 算法

算法（）就是定义好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来讲输入数据转化成输出结果。

如何学好数据结构与算法

1.

2.

刷题平台：牛客网、leetcode（力扣）

如何衡量一个算法的好坏呢？

案例：旋转数组：https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

思路：循环k次将数组所有元素向后移动一位

代码执行可以通过，然而点击提交却无法通过，那该如何衡量其好与坏呢？

2.1 复杂度的概念

算法在编写可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.2 复杂度的重要性

在考研上机、就业面试、ACM竞赛中，往往会对复杂度具有要求

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运行时间呢？

因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同一个算法程序，用一个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样机器下运行时间不同。

同⼀个算法程序，用⼀个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同。

并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

在这里插入图片描述

那么算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)到底是什么呢？这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过c语言编译链接章节学习，我们知道算法程序被编译后啥生成二进制指令，程序运行，就是cpu执行这些编译好的指令。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本⼀样(实际中有差别，但是微乎其微)，那么执行次数和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决⼀个问题的算法a程序T(N) = N，算法b程序T(N) = N^2，那么算法a的效率⼀定优于算法b。

案例：

Func1执行的基本操作次数：
$$

通过对N取值分析，对结果影响最大的一项是

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确执行次数，精确执行次数计算起来还是很麻烦的（不同的一句程序代码，编译出的指令条数是不一样的），计算出精确的执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T（N）的差别，上面我们已经看到了当N不断变大时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

3.1 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是表述函数渐进行为的数学符号

推到大O阶规则

时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变大时，低阶项对结果影响越来越小，当N无穷大时就可以忽略不计了。

如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项目的常数系数，因为当N不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计。

T(N)中如果没有N相关的项，只有常数项，则用常数1取代所有假发常数

通过以上方法，可以得到的时间复杂度：O(N^2)

3.2 时间复杂度计算实例

3.2.1 示例1

Func2执行的基本操作次数:

根据推导规则2得出Func2的时间复杂度为:O(N)

3.2.2 示例2

Func3执行的基本操作次数:

Func3的时间复杂度为:O(N)

3.2.3 示例3

Func4执行的基本操作次数:

得出Func4的时间复杂度为:O(1)

3.2.4 示例4

strchr执行的基本操作次数:

(1) 若要查找的字符在字符串的第一个位置,则:T(N)=1

(2) 若要查找的字符在字符串的最后的一个位置,则:T(N)=N

(3)若要查找的字符在字符串的中间位置,则:T(N)=N/2

因此:strchr的时间复杂度分为:

最好情况:O(1)

最坏情况:O(N)

平均情况:O(N)

总结

通过上面我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。最坏情况：任意输⼊规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界) 大O的渐进表示法在实际中一般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

3.2.5 示例5

BubbleSort执行的基本操作次数:

(1)若数组有序,则:T(N)=N

(2)若数组有序且为降序,则:T(N)=N*(N+1)/2;

因此:BubbleSort的时间复杂度取最差情况为:O(N^2)

3.2.6 示例6

当n=2时，执行次数为1

当n=4时，执行次数为2

当n=16时，执行次数为4

假设执行次数为x，则2^x=n

因此执行次数：x=log n

因此：func5的时间复杂度取最差情况为：O(log2 n)

当n接近无穷大时，底数的大小对结果影响不大。因此，一般情况不管底数是多少都可以省略不写，即可以表示为log n

3.2.7 示例7

递归的时间复杂度是多少：O(N)

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运算过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

4.1 空间复杂度计算示例

4.1.1 示例1

函数栈帧在编译期间已经确定了，只需要关注函数在运行时额外申请的空间。

BubbleSort额外申请的空间有exchange等有限个局部变量，使用了常数个额外空间，因此空间复杂度为O(1)

4.2.2 示例2

Fac调用了N次，额外开辟了N个函数栈帧，每个栈帧使用了常数个空间，因此空间复杂度为O(N).

在这里插入图片描述

6.1 旋转数组

https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

思路1

时间复杂度：O(N^2)

循环k次将数组所有元素后移一位（TLE)

思路2

空间复杂度 O(N)

申请新数组空间，先将后k个数据放到新数组中，再将剩下的数据挪到新数组中

空间换时间

AC

思路3

空间复杂度O(1)

前k个逆置：4 3 2 1 5 6 7

后k个逆置：4 3 2 1 7 6 5

整体逆置：5 6 7 1 2 3 4

到此这篇广度优先搜索和深度优先搜索时间复杂度（广度优先搜索和深度优先搜索的时间复杂度）的文章就介绍到这了,更多相关内容请继续浏览下面的相关推荐文章，希望大家都能在编程的领域有一番成就！

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