指数与对数函数图像（指数与对数函数图像的区别）

要点一　指数函数的概念

例1　给出下列函数：

①y＝2·3^x；

②y＝3^x＋1；

③y＝3^x；

④y＝x³；

⑤y＝(－2)^x.其中，指数函数的个数是(  )

A．0

B．1

C．2

D．4

答案　B

解析　

①中，3^x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3^x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3^x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3^x一项，故③是指数函数；④中，y＝x³的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．

规律方法　

1.指数函数的解析式必须具有三个特征：

(1)底数a为大于0且不等于1的常数；

(2)指数位置是自变量x；

(3)a^x的系数是1.

2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．

跟踪演练1

若函数y＝(4－3a)^x是指数函数，则实数a的取值范围为________．

要点二　指数函数的图象

例2 如图是指数函数

①y＝a^x，

②y＝b^x，

③y＝c^x，

④y＝d^x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )

A．a＜b＜1＜c＜d  

B．b＜a＜1＜d＜c

C．1＜a＜b＜c＜d  

D．a＜b＜1＜d＜c

答案　B

解析　

方法一　

在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.

∴b＜a＜1＜d＜c.

方法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c.故选B.

规律方法　

1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝a^x(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．

2．处理指数函数的图象：

①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；

②巧用图象平移变换；

③注意函数单调性的影响．

跟踪演练2

(1)函数y＝|2^x－2|的图象是(  )

(2)直线y＝2a与函数y＝|a^x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．

答案

解析　

(1)y＝2^x－2的图象是由y＝2^x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2^x－2|的图象是由y＝2^x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．

(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|a^x－1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1，作出函数y＝2a和y＝|a^x－1|的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝|a^x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知

要点三　指数型函数的定义域、值域

例3 求下列函数的定义域和值域：

规律方法

对于y＝a^f(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，

(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；

(2)值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出u＝f(x)的值域；

②利用指数函数y＝a^u的单调性求得此函数的值域．

跟踪演练3