指数与对数的呼唤（指数和对数的关系）



1、对数函数与指数函数的关系 函 数 函数 函数 函数 3.2.3指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数的关系 对数函数与指数函数的关系 问题问题1： 指数函数指数函数y=ax与对数函数与对数函数y=loga x(a0,a1) 有什么关系有什么关系? 称这两个函数互为称这两个函数互为反函数反函数 对应法则互逆对应法则互逆 y=axx=loga yy=loga x 指数换对数交换x,y 对数函数与指数函数的关系 指数函数y=ax(a0,a1) 对数函数y=logax(a0,a1) 反 函 数 指 数 函 数指 数 函 数 y = a x 是 对 数 函 数是 对 数 函 数 y=log a x(

2、a0,a1)的 的反函数反函数 对数函数与指数函数的关系 问题问题2： 观察在同一坐标系内函数观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数与函数y=2x的的 图像图像,分析它们之间的关系分析它们之间的关系. 函数函数y=log2x的图像与的图像与 函数函数y=2x的图像关于的图像关于 直 线直 线 y = x 对 称对 称 (1,0) (0,1) O x y y=log2x y=2x y=x P(b,a) Q(a,b) 函数函数y=f(x)的图像和的图像和 它的反函数的图像它的反函数的图像 关于直线关于直线y=x对称对称 对数函数与指数函数的关系 1当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变

3、量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。 2对数函数y=loga x与指数函数y=ax互为反 函数，图象关于直线y=x对称。 3 函数yf(x)的反函数通常用yf1(x) 表 示。 注意：yf1(x) 读作：“f逆x” 表示反函数，不是-1次幂（倒数） 的意思 对数函数与指数函数的关系 例例1 写出下列对数函数的反函数写出下列对数函数的反函数: (1)y =lgx; .log2 3 1 xy 解解 (1)对数函数对数函数y=lgx,它的底数是它的底数是 它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数 10 y=10 x (2)对数函数对数

4、函数 ,log 3 1 xy 它的底数是它的底数是 3 1 它的反函数是指数函数它的反函数是指数函数 . 3 1 x y 对数函数与指数函数的关系 例例2 写出下列指数函数的反函数写出下列指数函数的反函数: (1)y=5x . 3 2 2 x y 解解(1)指数函数指数函数y=5x,它的底数是它的底数是5 它的反函数是对数函数它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数指数函数 ,它的底数是它的底数是 , 它的反函数是对数函数它的反函数是对数函数 xy 3 2 log 3 2 x y 3 2 对数函数与指数函数的关系 例3求函数32（R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函

5、数的图象。 解：由32（R ）得 3 2 所以21（R）的反函数是 （R ） 32经过两点（0，2）， （2/3，0） 3 2 经过两点（2，0）， （0 ，2/3 ） 3 2 对数函数与指数函数的关系 0 x y 32 3 2 想一想：函数32的图象和它的反函数 3 2 的图象之间有什么关系？ 对数函数与指数函数的关系 求函数反函数的步骤求函数反函数的步骤: 3 求原函数的值域求原函数的值域 1 反解反解 2 x与与y互换互换 4 写出反函数及它的定义域写出反函数及它的定义域 对数函数与指数函数的关系 bf(a) af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上 点（a,b）在函数yf

6、(x)的图像上 (1,0) (0,1) O x y y=log2x y=2x y=x P(b,a) Q(a,b) 结论结论: 对数函数与指数函数的关系 例例44函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函数的图象的反函数的图象 经过点经过点(1, 4)，求，求a的值的值. 解解:依题意依题意,得得) 14(log1 a . 3, 13log:a即 a bf(a) af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上 点（a,b）在函数yf(x)的图像上 对数函数与指数函数的关系 2 1 512 4 f xxx f 例 ：已知函数（ ）（） 求出 （ ）的值。 2 1 45 25.

7、 xx xx 解：令 ，解之得： 又， bf(a) af1(b)点（b,a）在反函数yf1(x) 的图像上 点（a,b）在函数yf(x)的图像上 对数函数与指数函数的关系 理论迁移理论迁移 例例4 4 已知函数已知函数 . . （1 1）求函数）求函数f(x)f(x)的定义域和值域；的定义域和值域； （2 2）求证函数）求证函数y=f(x)y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线 y=xy=x对称对称. . 2 ( )log (12 ) x f x 对数函数与指数函数的关系 小结小结 反函数的概念反函数的概念 定义域和值域互换定义域和值域互换 对应法则互逆对应法则互逆 图像关于直线图像关于直线y=x对称对称 指数函数指数函数y=ax(a

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