指数与对数的运算教案（指数与对数的运算教案重难点）

关键词：

   概念、性质 类比

教学目标：

1. 初步理解分数指数幂的概念和运算性质；

2.经历从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，感受数学的发展和其应用价值；

3.提升数学运算和逻辑推理的学科素养.

教学重点：理解分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：理解分数指数幂的概念

教学过程：

一． 复习初中学习的整数指数幂的概念和运算性质

1. 复习整数指数幂的概念

（1）正整数指数幂；

（2）负整数指数幂；

（3）零指数幂

2.复习整数指数幂的运算性质

（1）符号表示：

（2）语言叙述：

同底数幂乘法，底数不变，指数相加；

幂的乘方，底数不变，指数相乘；

积的乘方，将每一个因式分别乘方，再将幂相乘.

3.复习幂函数

在学习幂函数的时候，讨论的问题：

如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数，也可以表示为.

进而研究了等幂函数.

思考：对指数幂的认识从整数指数幂，到像这样的分数形式的指数幂，什么是分数指数幂？分数指数幂有哪些性质呢？

二． 提出问题

如果，那么叫做的平方根，例如就是4的平方根.

如果，那么叫做的立方根，例如2就是8的立方根.

类似的，

由于，称为16的4次方根；

由于，称2为32的5次方根；

当为正整数时，如果，怎么描述2与的关系呢？可以类比的称2与的次方根.

再进一步思考：如果，怎么描述与的关系呢？其中的取值范围是什么？

三． 定义概念

1. 次方根的概念

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

的次方根用符号表示.例如，

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.

正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，正的次方根和负的次方根可以合并写成.

例如，

负数没有偶次方根.

零的任何次方根都是零，记作

    式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.

2. 次方根的性质

（1）由次方根的定义，可得

例如，，

思考：一定成立吗？

化简下列各式：

化简结果：

（2）当是奇数时，；

当是偶数时，

例1 求下列各式的值：

（1）；     （2）；

（3）；   （4）.

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）

3.分数指数幂的概念

根据次方根的概念和性质，有

，

.

由此，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.

思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式还可以表示为分数指数幂的形式吗？

数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与原有的概念或法则相容.

把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把等写成下列形式：

希望整数指数幂的运算性质，如，对分数指数幂仍然适用.

由此规定，正数的正分数指数幂的意义是

即在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

请同学们思考这样的规定为什么是合理的？请与同伴交流你的想法.

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定，

例如，

与0的整数指数幂的意义相仿，规定，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.

规定了分数指数幂的意义后，中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.

整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数，，有下面的运算性质.

例2 求值：

（1）；              （2）.

解：（1）；

（2）.

例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中）：

（1）；         （2）.

解：（1）；

（2）

四、小结、布置作业（略）

【作者：北京市第二十二中学 李红 指导教师:北京市东城区教师研修中心 李颖，版权归原作者所有,仅供各位老师学习和研究】

4.1.1 n次方根与分数指数幂（2019版新教材）

4.1.2无理数指数幂及其运算性质（2019版新教材）

4.2 指数函数 （2课时，单元教学设计 2019版新教材）

4.3.1 对数的概念（2019版新教材）

4.4 对数函数（3课时，单元教学设计 2019版新教材）

4.5.2用二分法求方程的近似解（2019版新教材）

4.5.3函数模型的应用（第2课时）（2019版新教材）