作者：v_JULY_v
来源：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/
本文按照以下5个步骤来阐述，希望读者看完本文后，能对LDA有个尽量清晰完整的了解。
关于LDA有两种含义，一种是线性判别分析（Linear Discriminant Analysis），一种是概率主题模型：隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation，简称LDA），本文讲后者。
另外，我先简单说下LDA的整体思想，不然我怕你看了半天，铺了太长的前奏，却依然因没见到LDA的影子而显得“心浮气躁”，导致不想再继续看下去。所以，先给你吃一颗定心丸，明白整体框架后，咱们再一步步抽丝剥茧，展开来论述。
按照wiki上的介绍，LDA由Blei, David M.、Ng, Andrew Y.、Jordan于2003年提出，是一种主题模型，它可以将文档集 中每篇文档的主题以概率分布的形式给出，从而通过分析一些文档抽取出它们的主题（分布）出来后，便可以根据主题（分布）进行主题聚类或文本分类。同时，它是一种典型的词袋模型，即一篇文档是由一组词构成，词与词之间没有先后顺序的关系。此外，一篇文档可以包含多个主题，文档中每一个词都由其中的一个主题生成。
人类是怎么生成文档的呢？LDA的这三位作者在原始论文中给了一个简单的例子。比如假设事先给定了这几个主题：Arts、Budgets、Children、Education，然后通过学习的方式，获取每个主题Topic对应的词语。如下图所示：
然后以一定的概率选取上述某个主题，再以一定的概率选取那个主题下的某个单词，不断的重复这两步，最终生成如下图所示的一篇文章（其中不同颜色的词语分别对应上图中不同主题下的词）：
而当我们看到一篇文章后，往往喜欢推测这篇文章是如何生成的，我们可能会认为作者先确定这篇文章的几个主题，然后围绕这几个主题遣词造句，表达成文。LDA就是要干这事：根据给定的一篇文档，推测其主题分布。
通俗来说，人类根据上述文档生成过程写成了各种各样的文章，现在某小撮人想让计算机利用LDA干一件事：你计算机给我分析推测网络上各篇文章分别都写了些啥主题，且各篇文章中各个主题出现的概率大小（主题分布）是啥。
然，就是这么一个看似普通的LDA，一度吓退了不少想深入探究其内部原理的初学者。难在哪呢，难就难在LDA内部涉及到的数学知识点太多了。
在LDA模型中，一篇文档生成的方式如下：
- 从狄利克雷分布
中取样生成文档 i 的主题分布
- 从主题的多项式分布中取样生成文档i第 j 个词的主题
- 从狄利克雷分布
中取样生成主题对应的词语分布
- 从词语的多项式分布中采样最终生成词语
其中，类似Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，而狄利克雷分布（Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布。
此外，LDA的图模型结构如下图所示（类似贝叶斯网络结构）：
恩，不错，短短6句话整体概括了整个LDA的主体思想！但也就是上面短短6句话，却接连不断或重复出现了二项分布、多项式分布、beta分布、狄利克雷分布（Dirichlet分布）、共轭先验概率分布、取样，那么请问，这些都是啥呢？
今天我们先简单解释下二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet 分布这4个分布。后续会介绍更多LDA的详细内容。
- 二项分布（Binomial distribution）
二项分布是从伯努利分布推进的。伯努利分布，又称两点分布或0-1分布，是一个离散型的随机分布，其中的随机变量只有两类取值，非正即负{+，-}。而二项分布即重复n次的伯努利试验，记为 
。简言之，只做一次实验，是伯努利分布，重复做了n次，是二项分布。二项分布的概率密度函数为：
对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中的
是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为
。回想起高中所学的那丁点概率知识了么：想必你当年一定死记过这个二项式系数就是
。
- 多项分布，是二项分布扩展到多维的情况。
多项分布是指单次试验中的随机变量的取值不再是0-1的，而是有多种离散值可能（1,2,3...,k）。比如投掷6个面的骰子实验，N次实验结果服从K=6的多项分布。其中
多项分布的概率密度函数为：
- Beta分布，二项分布的共轭先验分布。
给定参数
和
，取值范围为[0,1]的随机变量 x 的概率密度函数：
其中：
，
。
注：
便是所谓的gamma函数，下文会具体阐述。
- Dirichlet分布，是beta分布在高维度上的推广。
Dirichlet分布的的密度函数形式跟beta分布的密度函数如出一辙：
其中
至此，我们可以看到二项分布和多项分布很相似，Beta分布和Dirichlet 分布很相似，而至于“Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布，而狄利克雷分布（Dirichlet分布）是多项式分布的共轭先验概率分布”这点在下文中说明。
OK，接下来，咱们就按照本文开头所说的思路：“一个函数：gamma函数，四个分布：二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布，外加一个概念和一个理念：共轭先验和贝叶斯框架，两个模型：pLSA、LDA（文档-主题，主题-词语），一个采样：Gibbs采样”一步步详细阐述，争取给读者一个尽量清晰完整的LDA。
（当然，如果你不想深究背后的细节原理，只想整体把握LDA的主体思想，可直接跳到本文，等着后面我们再推送的文章，若后面还是想深究背后的细节原理，可再回到本文开始看）
咱们先来考虑一个问题（此问题1包括下文的问题2-问题4皆取材自LDA数学八卦）：
- 问题1 随机变量
- 把这n 个随机变量排序后得到顺序统计量
- 然后请问
的分布是什么。
为解决这个问题，可以尝试计算
落在区间[x,x+Δx]的概率。即求下述式子的值：
首先，把 [0,1] 区间分成三段 [0,x)，[x,x+Δx]，(x+Δx,1]，然后考虑下简单的情形：即假设n 个数中只有1个落在了区间 [x,x+Δx]内，由于这个区间内的数X(k)是第k大的，所以[0,x)中应该有 k−1 个数，(x+Δx,1] 这个区间中应该有n−k 个数。如下图所示：
从而问题转换为下述事件E：
对于上述事件E，有：
其中，o(Δx)表示Δx的高阶无穷小。显然，由于不同的排列组合，即n个数中有一个落在 [x,x+Δx]区间的有n种取法，余下n−1个数中有k−1个落在[0,x)的有
种组合，所以和事件E等价的事件一共有
个。
如果有2个数落在区间[x,x+Δx]呢？如下图所示：
类似于事件E，对于2个数落在区间[x,x+Δx]的事件E’：
有：
从上述的事件E、事件E‘中，可以看出，只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 o(Δx)。于是乎有：
从而得到的概率密度函数
为：
至此，本节开头提出的问题得到解决。然仔细观察的概率密度函数，发现式子的最终结果有阶乘，联想到阶乘在实数上的推广函数：
两者结合是否会产生奇妙的效果呢？考虑到具有如下性质：
故将代入到的概率密度函数中，可得：
然后取
，
，转换得到：
如果熟悉beta分布的朋友，可能会惊呼：哇，竟然推出了beta分布！
在概率论中，beta是指一组定义在
区间的连续概率分布，有两个参数
和
，且
。
beta分布的概率密度函数是：
其中的
便是函数：
随机变量X服从参数为的beta分布通常写作：
。
回顾下1.1节开头所提出的问题：“问题1 随机变量
，把这n 个随机变量排序后得到顺序统计量
，然后请问的分布是什么。” 如果，咱们要在这个问题的基础上增加一些观测数据，变成问题2：
- ，对应的顺序统计量是，需要猜测
； 
， 
中有
个比p小，
个比
大；- 那么，请问
的分布是什么。
根据“Yi中有
个比
小，
个比大”，换言之，Yi中有个比小，个比大，所以是
中第
大的数。
根据1.1节最终得到的结论“只要落在[x,x+Δx]内的数字超过一个，则对应的事件的概率就是 o(Δx)”，继而推出事件服从beta分布，从而可知
的概率密度函数为：
熟悉贝叶斯方法（不熟悉的没事，参见此文第一部分）的朋友心里估计又犯“嘀咕”了，这不就是贝叶斯式的思考过程么？
- 为了猜测，在获得一定的观测数据前，我们对的认知是：
，此称为的先验分布； - 然后为了获得这个结果“ 中有个比p小，个比大”，针对是做了
次贝努利实验，所以服从二项分布
； - 在给定了来自数据提供的
的知识后，的后验分布变为
。
回顾下贝叶斯派思考问题的固定模式：
- 先验分布
+ 样本信息
后验分布
上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之，在得到新的样本信息之前，人们对
的认知是先验分布
，在得到新的样本信息
后，人们对的认知为
。
类比到现在这个问题上，我们也可以试着写下：
其中
对应的是二项分布
的计数。
更一般的，对于非负实数和
，我们有如下关系
针对于这种观测到的数据符合二项分布，参数的先验分布和后验分布都是Beta分布的情况，就是Beta-Binomial共轭。换言之，Beta分布是二项式分布的共轭先验概率分布。
二项分布和Beta分布是共轭分布意味着，如果我们为二项分布的参数p选取的先验分布是Beta分布，那么以p为参数的二项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然服从Beta分布。
此外，如何理解参数和所表达的意义呢？、可以认为形状参数，通俗但不严格的理解是，和共同控制Beta分布的函数“长的样子”：形状千奇百怪，高低胖瘦，如下图所示：
什么又是共轭呢？轭的意思是束缚、控制，共轭从字面上理解，则是共同约束，或互相约束。
在贝叶斯概率理论中，如果后验概率P(θ|x)和先验概率p(θ)满足同样的分布律，那么，先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。
比如，某观测数据服从概率分布P(θ)时，当观测到新的X数据时，我们一般会遇到如下问题：
- 可否根据新观测数据X，更新参数θ？
- 根据新观测数据可以在多大程度上改变参数θ，即
- 当重新估计θ的时候，给出新参数值θ的新概率分布，即P(θ|x)。
事实上，根据根据贝叶斯公式可知：
其中，P(x|θ)表示以预估θ为参数的x概率分布，可以直接求得，P(θ)是已有原始的θ概率分布。
所以，如果我们选取P(x|θ)的共轭先验作为P(θ)的分布，那么P(x|θ)乘以P(θ)，然后归一化的结果P(θ|x)跟和P(θ)的形式一样。换句话说，先验分布是P(θ)，后验分布是P(θ|x)，先验分布跟后验分布同属于一个分布族，故称该分布族是θ的共轭先验分布（族）。
举个例子。投掷一个非均匀硬币，可以使用参数为θ的伯努利模型，θ为硬币为正面的概率，那么结果x的分布形式为：
其共轭先验为beta分布，具有两个参数和，称为超参数（hyperparameters）。且这两个参数决定了θ参数，其Beta分布形式为
然后计算后验概率
归一化这个等式后会得到另一个Beta分布，从而证明了Beta分布确实是伯努利分布的共轭先验分布。
接下来，咱们来考察beta分布的一个性质。
如果
，则有：
注意到上式最后结果的右边积分
其类似于概率分布
，而对于这个分布有
从而求得
的结果为
最后将此结果带入
的计算式，得到：
最后的这个结果意味着对于Beta 分布的随机变量，其均值（期望）可以用
来估计。此外，狄利克雷Dirichlet 分布也有类似的结论，即如果
，同样可以证明有下述结论成立：
那什么是Dirichlet 分布呢？简单的理解Dirichlet 分布就是一组连续多变量概率分布，是多变量普遍化的beta分布。为了纪念德国数学家约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）而命名。狄利克雷分布常作为贝叶斯统计的先验概率。
根据wikipedia上的介绍，维度K ≥ 2（x1,x2…xK-1维，共K个）的狄利克雷分布在参数α1, ..., αK > 0上、基于欧几里得空间RK-1里的勒贝格测度有个概率密度函数，定义为：
其中，
相当于是多项beta函数
且
此外，x1+x2+…+xK-1+xK=1，x1,x2…xK-1>0，且在(K-1)维的单纯形上，其他区域的概率密度为0。
当然，也可以如下定义Dirichlet 分布
其中的
称为Dirichlet 分布的归一化系数：
且根据Dirichlet分布的积分为1（概率的基本性质），可以得到：
下面，在2.2节问题2的基础上继续深入，引出问题3。
- ，
- 排序后对应的顺序统计量
, - 问
的联合分布是什么？
为了简化计算，取x3满足x1+x2+x3=1,但只有x1,x2是变量，如下图所示：
从而有：
继而得到于是我们得到
的联合分布为：
观察上述式子的最终结果，可以看出上面这个分布其实就是3维形式的 Dirichlet 分布
令
，于是分布密度可以写为
这个就是一般形式的3维 Dirichlet 分布，即便
延拓到非负实数集合，以上概率分布也是良定义的。
将Dirichlet分布的概率密度函数取对数，绘制对称Dirichlet分布的图像如下图所示（截取自wikipedia上）：
上图中，取K=3，也就是有两个独立参数x1,x2，分别对应图中的两个坐标轴，第三个参数始终满足x3=1-x1-x2且α1=α2=α3=α，图中反映的是参数α从α=(0.3, 0.3, 0.3)变化到(2.0, 2.0, 2.0)时的概率对数值的变化情况。
为了论证Dirichlet分布是多项式分布的共轭先验概率分布，下面咱们继续在上述问题3的基础上再进一步，提出问题4。
- 问题4
，排序后对应的顺序统计量
- 令
,
,
（此处的p3非变量，只是为了表达方便），现在要猜测
； 
，Yi中落到
，
，
三个区间的个数分别为 m1,m2,m3，m=m1+m2+m3；- 问后验分布
的分布是什么。
为了方便讨论，记
，及
，根据已知条件“
，Yi中落到
，
，
三个区间的个数分别为 m1,m2”，可得
、
分别是这m+n个数中第
大、第
大的数。于是，后验分布
应该为
，即一般化的形式表示为：
。
同样的，按照贝叶斯推理的逻辑，可将上述过程整理如下：
- 我们要猜测参数
，其先验分布为
； - 数据Yi落到三个区间，， 的个数分别为
，所以
服从多项分布
- 在给定了来自数据提供的知识
后，
的后验分布变为
上述贝叶斯分析过程的直观表述为：
令
，可把
从整数集合延拓到实数集合，从而得到更一般的表达式如下：
针对于这种观测到的数据符合多项分布，参数的先验分布和后验分布都是Dirichlet 分布的情况，就是Dirichlet-Multinomial 共轭。换言之，至此已经证明了Dirichlet分布的确就是多项式分布的共轭先验概率分布。
意味着，如果我们为多项分布的参数p选取的先验分布是Dirichlet分布，那么以p为参数的多项分布用贝叶斯估计得到的后验分布仍然服从Dirichlet分布。
进一步，一般形式的Dirichlet 分布定义如下：
而对于给定的
和N，其多项分布为：
结论是：Dirichlet分布
和多项分布
是共轭关系。
今天我们就先了解这些基础知识，请大家继续关注小君后面推出的LDA详细内容。
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